Enunciados

uma escolha de de 4 algarismos de $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ determina, unicamente, um número de 4 algarismos com os dígitos em ordem decrescente, e vice-versa, tod tal número corresponde a uma única escolha, portanto, são $\binom {10}4$ números.
(a) há $h$ escolhas para um homem no fim da fila e as $h+m-1$ pessoas restantes podem formar $(h+m-1)!$ filas defirentes. Pelo princípio multiplicativo serão $h\cdot (h+m-1)!$ filas.
(b) há $h$ escolhas para um homem no fim da fila, $h-1$ escolhas para um homem no começo da fila e as $h+m-2$ pessoas restantes podem formar $(h+m-2)!$ filas defirentes. Pelo princípio multiplicativo serão $h\cdot (h-1)\cdot (h+m-2)!$ filas.
questão 6 do ENQ 2017-1 (com gabarito).
das $n$ caixas há $\binom nm$ escolhas para deixar $m$ vazias. As $n-m$ caixas restantes devem ter $\geq 1$ bolas. Se $x_1,\dots,x_{n-m}$ são o número de bolas em cada caixa então a quantidade de modos de distribuir as $r$ bolas nas $n-m$ caixas é o número de soluções inteiras de $$x+1+x_2+\cdots+x_{n-m}=r \text{ com } x_i\geq 1 \text{ para todo }i$$ que são $\binom{r-1}{n-m-1}$. Pelo principio multiplicativo são $$\binom nm \cdot \binom {r-1}{n-m-1}$$ maneiras de distribuir $r$ bolas em $n$ caixas de modo que exatamente $m$ caixas fiquem vazias?
5.1 Seja $a_n$ o número de maneiras de subir a escada. Se há 1 degrau então $a_1=1$, se há 2 degraus então $a_2=2$. Se há $n+2$ degraus então se chegamos ao degrau $n+1$ só ha uma maneira de chegar ao $n+2$; se chegamos ao degrau $n$ então ha duas maneiras de chegar ao $n+2$ mas uma delas (subindo um degrau por vez) já foi contada no caso anterior, portanto, só há mais uma maneira de chagar ao $n+2$. Portanto, $$ a_1=1, ~a_2=2 \text{ e }a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \text{ para todo }n\in \mathbb{N}$$ A partir daí a solução é análoga a da sequência de Fibonacci.
5.2 é um exercício do livro texto
o rendimento da poupança é $500 \cdot 0,0056=2,80$ e o rendimento do CDB é $500 \cdot 0,0086=4,30$, entretanto há 5% de 4,30 (=0,21)de taxa e imposto. Após mês o montante é 502,80 na poupança e 504,09 no CDB que é mais vantajoso.
Seja $i$ uma taxa mensal de juros. Chamemos de $3V$ o valor do carro.
No caso (a) o valor do montante no ato da compra é $$\frac{3V}{i+1}.$$
No caso (b) o valor do montante no ato da compra é $$V + \frac{V}{i+1} + \frac{V}{(i+1)^2} = 3V\left(\frac{1+i+i^2/3}{(i+1)^2}\right) = 3V\left(\frac{1}{i+1} + \frac{i^2}{3(i+1)^2}\right) = \frac{3V}{i+1} + \frac{3Vi^2}{3(i+1)^2}$$ como o segundo somando é $\geq 0$ a caso (a) é mais vantajoso para qualquer $i>0$.