Exercícios de MA 37 (2025-1)

1. Estude as assíntotas da função

   $$P(x)=\frac{1}{|x+1|}+\frac{1}{|x-1|},x>-1,x\ne 1.$$

2. Amortização é o processo pelo qual uma dívida é reembolsada por uma sequência de pagamentos periódicos com o objetivo de pagar os juros e, ao mesmo tempo, reduzir o capital devido. Se $D_n$$D_n$ é o saldo da dívida após o $n$$n$-ésimo pagamento sob o regime de juros compostos a uma taxa ${\alpha }_n$$\alpha_n$ no período considerado e pagamento de $a_n$$a_n$, nesse período, então

   $$D_{n+1}=(1+{\alpha }_n)D_n-a_n.$$

   O pagamento que se efetua cada período para realizar a amortização e a taxa podem ser fixas, este último é um modelo mais simples que vamos resolver a seguir. Na compra de uma casa é feito um financiamento do valor $c_0$$c_0$ que deve ser pago em 15 anos, em parcelas mensais fixas e iguais a $k$$k$. Determine o juro mensal (fixo) cobrado neste empreendimento.

3. Estude a convergência e estabilidade e classifique as equações abaixo

   

   de acordo com o comportamento do gráfico

4. Qual o tempo necessário para que uma dada quantia em dinheiro dobre a uma taxa de juros simples de 10% ao ano? E se for juro composto?

5. Determine as soluções gerais e estude o equilíbrio:

   1. $y_{n+2}=3y_{n+1}-2y_n$$y_{n+2} = 3 y_{n+1}-2y_n$

   2. $y_{n+2}=-2y_{n+1}-2y_n$$y_{n+2} = -2y_{n+1}-2y_n$

   3. $y_{n+2}=-2y_{n+1}-y_n$$y_{n+2} = -2y_{n+1}-y_n$

   4. $y_{n+2}-y_n=0$$y_{n+2}-y_n=0$

   5. $9y_{n+2}-6y_{n+1}+y_n=0$$9y_{n+2}-6y_{n+1}+y_n=0$

6. Um economista está interessado na variação do preço de um único produto. Observa-se que um preço elevado do produto no mercado atrai mais fornecedores. No entanto, o aumento da quantidade ofertada tende a reduzir o preço. Com o tempo, há uma interação entre preço e oferta. O economista propõe o seguinte modelo, onde $P_n$$P_n$ representa o preço no ano $n$$n$, e $Q_n$$Q_n$ representa a quantidade:

   $$\begin{array}{rl}{P}_{n+1}& =P_n-0,1(Q_n-500)\\ Q_{n+1}& =Q_n+0,2(P_n-100)\end{array}$$

   (6.1) O modelo faz sentido intuitivamente? Qual o significado das constantes 100 e 500? Explique o significado dos sinais das constantes $-0,1$$-0{,}1$ e $0,2$$0{,}2$. (6.2) Elabore uma planilha e teste as condições iniciais abaixo.

   Caso	P₀	Q₀
   A	100	500
   B	200	500
   C	100	600
   D	100	400

   (6.3) Descreva o comportamento de longo prazo (estabilidade) do sistema.