2ª Entrega–Exercícios de MA 37 (2025-1)

1. Consideremos agora três urnas, digamos $A$$A$, $B$$B$ e $C$$C$, cada uma com a mesma probabilidade de ser escolhida, $1/3$$1/3$. Em cada uma das urnas há seis bolas, cada uma com a mesma probabilidade de ser escolhida, $1/6$$1/6$. Na urna $A$$A$ temos três bolas pretas e três bolas vermelhas; na urna $B$$B$ temos duas bolas pretas e quatro vermelhas; na urna $C$$C$ todas as bolas são pretas. Uma urna é escolhida aleatoriamente e, em seguida, uma bola é escolhida aleatoriamente e observamos a cor dessa bola. Qual é a probabilidade da bola sorteada ser preta? Essa probabilidade depende do número de bolas na urna $C$$C$?

2. Suponha que probabilite é um vírus que afeta $10\mathrm{\%}$$10\%$ da população de estudantes universitários (essa taxa é conhecida, em epidemiologia, como prevalência da doença). Um professor de Probabilidade aplica um teste que detecta probabilite mas eventualmente se engana: $3\mathrm{\%}$$3\%$ de falsos positivos ($97\mathrm{\%}$$97\%$ é a especificidade do teste) e $1\mathrm{\%}$$1\%$ de falsos negativos ($99\mathrm{\%}$$99\%$ é a especificidade). Se for detectado probabilite em um indivíduo escolhido ao acaso nessa população, qual é a probabilidade que ele tenha o vírus?

3. Agora, supondo que probabilite seja uma contaminação muito rara, digamos que apena $0,5\mathrm{\%}$$0{,}5\%$ da população universitária tenha o vírus, e que o teste seja um pouco mais acurado, só há $1\mathrm{\%}$$1\%$ de chance de falsos positivos e falsos negativos. Qual o valor preditivo positivo (probabilidade de ter o vírus dado que o teste foi positivo) do teste? A acurácia do teste garante utilidade diagnóstica nos casos em que a prevalência for muito baixa?

4. Um departamento universitário oferece dois cursos: Curso A (difícil) e Curso B (fácil). Dois grupos de estudantes — Grupo 1 e Grupo 2 — fizeram os dois cursos. A tabela abaixo mostra as taxas de aprovação:

   Curso	Grupo	Aprovados	Total	Taxa de Aprovação
   Curso A	Grupo 1	672	800	84%
   Curso A	Grupo 2	160	200	80%
   Curso B	Grupo 1	170	200	85%
   Curso B	Grupo 2	648	800	81%

   Qual curso teve maior taxa de aprovação em cada grupo, separadamente?

   Qual é a taxa total de aprovação de cada curso, considerando os dois grupos juntos?

   Explique o resultado obtido e por que ele é considerado paradoxal.

5. Sociólogos reconhecem um fenômeno chamado difusão social, que é a propagação de uma informação em uma população. Os membros da população podem ser divididos em duas classes: aqueles que possuem a informação e aqueles que ainda não a possuem. Em uma população fixa de tamanho conhecido $N$$N$, é razoável supor que a taxa de difusão seja proporcional ao número de indivíduos que possuem a informação vezes o número de indivíduos que ainda não a receberam. Se $X(t)$$X(t)$ denota o número de indivíduos que possuem a informação em uma população de tamanho $N$$N$, então o modelo matemático para a difusão social é dado por:

   $$\frac{\text{d}X}{\text{d}t}=kX(N-X)$$

   onde $t$$t$ representa o tempo e $k$$k$ é uma constante positiva.

   (a) Resolva o modelo.

   (b) Em que instante a informação se espalha mais rapidamente?

   (c) Quantas pessoas eventualmente receberão a informação?

6. Os seguintes dados foram obtidos para o crescimento de uma população de ovelhas introduzida em um novo ambiente na ilha da Tasmânia (adaptado de Davidson, On the Growth of the Sheep Population in Tasmania, Trans. R. Soc. S. Australia 62 (1938): 342--346)

   $$\begin{array}{ccccccc}t(\text{ano})& 1814& 1824& 1834& 1844& 1854& 1864\\ P(t)& 125& 275& 830& 1200& 1750& 1650\end{array}$$

   (a) Faça uma estimativa de $M$$M$ através da plotagem de $P(t)$$P(t)$.

   (b) Plote $\ln \left(\frac{P}{M-P}\right)$$\ln \left(\frac{P}{M - P} \right)$ contra $t$$t$.

   (c) Estime $rM$$rM$ e $t^{\ast }$$t^*$ (o instante em que $P^{\prime }(t)$$P'(t)$ é máximo).