Equilíbrio e Estabilidade de Equações de Diferença Lineares de Ordem 2

0. Conceitos Fundamentais

Equilíbrio: um valor $x^{*}$ é um ponto de equilíbrio se, uma vez atingido, permanece inalterado pela dinâmica da equação. No caso homogêneo linear, frequentemente $x^{*}=0$ .

Estabilidade: dizemos que um ponto de equilíbrio é estável se soluções que começam próximas a ele permanecem próximas para todo tempo. Se, além disso, elas convergem para o equilíbrio, ele é assintoticamente estável.

Convergência: uma solução $x_{n}$ converge para o equilíbrio $x^{*}$ se $\lim_{n\to\infty}x_{n}=x^{*}$ .

Conceito	Descrição
Equilíbrio	Valor que permanece constante sob a evolução da equação.
Estabilidade	Soluções que começam próximas do equilíbrio permanecem próximas.
Convergência	As soluções tendem ao equilíbrio conforme $n\to\infty$ .

1. Forma Geral

Consideramos equações de diferença lineares, homogêneas, com coeficientes constantes, de ordem 2:

x_{n+2}+ax_{n+1}+bx_{n}=0,\quad\text{com }a,b\in\mathbb{R}

2. Equação Característica

Buscamos soluções da forma $x_{n}=r^{n}$ . Isso leva à equação característica:

r^{2}+ar+b=0

As raízes dessa equação determinam a forma geral da solução.

3. Tipos de Soluções e Estabilidade

(i) Raízes reais e distintas: $r_{1}\neq r_{2}\in\mathbb{R}$

x_{n}=\alpha r_{1}^{n}+\beta r_{2}^{n}

•

Se $|r_{1}|<1$ e $|r_{2}|<1$ : solução tende a zero (estável assintoticamente).
•

Se algum $|r_{i}|>1$ : solução diverge (instável).

(ii) Raízes reais e iguais: $r_{1}=r_{2}=r$

x_{n}=(\alpha+\beta n)r^{n}

•

Se $|r|<1$ : decaimento para zero.
•

Se $|r|=1$ : crescimento linear $\Rightarrow$ instável.

(iii) Raízes complexas conjugadas: $r_{1,2}=\rho e^{\pm i\theta}$

x_{n}=\rho^{n}\left(A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta)\right)

•

Se $\rho<1$ : oscilações decrescentes (estável assintoticamente).
•

Se $\rho=1$ : oscilações constantes (estável marginalmente).
•

Se $\rho>1$ : oscilações crescentes (instável).

4. Critério de Estabilidade

O equilíbrio $x=0$ é estável assintoticamente se as raízes da equação característica satisfazem:

|r_{1}|<1\quad\text{e}\quad|r_{2}|<1

Isto é equivalente às seguintes condições sobre os coeficientes:

\boxed{\begin{cases}|b|<1\\ |a|<1+b,\quad\text{se }b>0\\ |a|<1-b,\quad\text{se }b<0\end{cases}}

5. Exemplo Numérico

Considere:

x_{n+2}+\tfrac{1}{2}x_{n+1}-\tfrac{1}{4}x_{n}=0

Equação característica:

r^{2}+\tfrac{1}{2}r-\tfrac{1}{4}=0\Rightarrow r=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}% \Rightarrow r_{1}\approx 0{,}309,\quad r_{2}\approx-0{,}809

Como $|r_{1}|,|r_{2}|<1$ , o equilíbrio $x=0$ é estável assintoticamente.

6. Região de Estabilidade

A área sombreada representa os pares $(a,b)$ para os quais as soluções são assintoticamente estáveis.