Exercícios de Revisão de Probabilidade

1. Esperança condicional

Seja $(X,Y)$$(X, Y)$ um vetor aleatório com densidade conjunta

$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{8},0<x<2,0<y<4,$$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{8}, \quad 0 < x < 2,\ 0 < y < 4,$

e $f_{X,Y}(x,y)=0$$f_{X,Y}(x,y) = 0$ caso contrário.

(a) Calcule $E[X\mid Y=y]$$E[X \mid Y = y]$.

(b) Calcule $E[E[X\mid Y]]$$E[E[X\mid Y]]$ e verifique a propriedade da torre $E[E[X\mid Y]]=E[X]$$E[E[X\mid Y]] = E[X]$.

2. Distribuição em um processo de Poisson

Uma fila de atendimento segue um processo de Poisson (o número de chegadas em intervalo de comprimento $t$$t$ tem distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda t$$\lambda t$) com taxa de $\lambda =3$$\lambda = 3$ clientes por minuto.

(a) Qual a probabilidade de que nenhum cliente chegue em um intervalo de 30 segundos?

(b) O tempo até o próximo evento em um Poisson($\lambda$$\lambda$) tem distribuição exponencial Exp($\lambda$$\lambda$). Qual a probabilidade de que o tempo até o próximo cliente seja maior que 1 minuto?

(c) Justifique a propriedade de falta de memória da distribuição exponencial neste contexto, ou seja, prove que $\mathbb{P}(T>s+t\mid T>s)=\mathbb{P}(T>t).$$\mathbb P(T>s+t\mid T>s) = \mathbb P(T>t).$

3. Cálculo de probabilidades em um passeio aleatório

Considere um passeio aleatório $(S_n{)}_{n\ge 0}$$(S_n)_{n\ge0}$ em $\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$ com $S_0=0$$S_0=0$ e passos independentes e com a esma lei:

$\mathbb{P}(X_i=+1)=p,\mathbb{P}(X_i=-1)=1-p.$$\mathbb P(X_i=+1)=p,\qquad \mathbb P(X_i=-1)=1-p.$

Então $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$.

(a) Para $p=\frac{1}{2}$$p=\tfrac12$, calcule $P(S_2=0)$$P(S_2=0)$ e $P(S_4=0)$$P(S_4=0)$.

(b) Para $p=0.6$$p=0.6$, calcule $E[S_5]$$E[S_5]$ e $\mathrm{Var}(S_5)$$\mathrm{Var}(S_5)$.

4. Covariância e correlação em vetores aleatórios

Sejam $X\sim N(0,1)$$X\sim N(0,1)$ e $Y=2X+\epsilon$$Y = 2X + \varepsilon$, onde $\epsilon \sim N(0,4)$$\varepsilon\sim N(0,4)$ é independente de $X$$X$.

(a) Calcule $\mathrm{Cov}(X,Y)$$\mathrm{Cov}(X,Y)$ e $\mathrm{Corr}(X,Y)$$\mathrm{Corr}(X,Y)$.

(b) Discuta como a correlação se relaciona com dependência e independência.

5. Teorema Central do Limite

Sejam $X_i$$X_i$ variáveis aleatórias independentes com distribuição Bernoulli($p$$p$). Defina $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$.

(1) Verifique que a esperança e a variância $S_n$$S_n$ são $np$$np$ e $np(1-p)$$np(1-p)$, respectivamente.

(2) Pelo TCL – Teorema Central do Limite – vale que, para $n$$n$ grande,

onde $\mathrm{\Phi }$$\Phi$ é a função distribuição da normal padrão.

Estime $\mathbb{P}(S_{100}\ge 60)$$\mathbb P(S_{100}\ge 60)$ para $p=0.55$$p=0.55$ conhecido que $\mathrm{\Phi }(0.9045)\approx 0.816$$\Phi(0.9045)\approx 0.816$​.5. .

6. Quem vai pagar o pastel?

Dois amigos foram passear na feira. Quando chegaram na barraca de pastel, decidiram fazer uma aposta para ver quem iria pagar a conta. Cada um escolheu, de antemão, uma sequência de três resultados possíveis nos lançamentos de uma moeda – cara (c) e coroa (k). Em seguida, começaram a lançar a moeda repetidamente, combinando que o vencedor seria aquele cuja sequência aparecesse primeiro.

Supondo que quem escolheu primeiro escolheu ckc, quais são as probabilidades do segundo a escolher ganhar o jogo considerando cada uma das 7 possíveis outras sequências?