Exercícios Martingais

1. Prove que se $(Z_n{)}_{n\ge 0}$$(Z_n)_{n\ge0}$ é martingal com respeito a $(X_n{)}_{n\ge 0}$$(X_n)_{n\ge0}$, então $\mathbb{E}[X_0]=\mathbb{E}[X_n]$$\mathbb{E}[X_0]= \mathbb{E}[X_n]$ para todo $n$$n$.

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2. Para construir um modelo de tempo discreto do mercado de ações, tomamos $X_1,X_2,\dots$$X_1, X_2, \ldots$ independentes $\ge 0$$\geq 0$ com $\mathbb{E}{X}_i=1$$\mathbb{E}X_i = 1$ para todo $i$$i$. Considerando que os preços das ações são proporcionais ao seu valor, definimos $M_n=M_0{X}_1\cdots X_n$$M_n = M_0 X_1 \cdots X_n$ para todo $n>0$$n>0$ com $M_0$$M_0$ uma constante positiva. Prove que $(M_n{)}_{n\ge 0}$$(M_n)_{n\ge0}$ é um martingal em relação a $X_n$$X_n$.

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3. Sejam $Y_1,Y_2,\dots$$Y_1, Y_2, \ldots$ independentes e identicamente distribuídas com $\psi (\theta )=\mathbb{E}[\exp (\theta Y_1)]<\mathrm{\infty }$$\psi(\theta) = \mathbb{E}[\exp(\theta Y_1)] < \infty$. Seja $S_n=S_0+Y_1+\cdots +Y_n$$S_n = S_0 + Y_1 + \cdots + Y_n$. Prove que $M_n=\exp (\theta S_n)/\psi (\theta {)}^n$$M_n = \exp(\theta S_n)/\psi(\theta)^n$ é um martingale em relação a $Y_n$$Y_n$. Em particular, se $\psi (\theta )=1$$\psi(\theta) = 1$ então $\exp (\theta S_n)$$\exp(\theta S_n)$ é um martingale.

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4. Uma sequência de variáveis aleatórias $(A_n:1\le n<\mathrm{\infty })$$(A_n : 1 \le n < \infty)$ é chamada não-antecipante com respeito à sequência $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$$(\mathcal{F}_n)_{n\ge0}$ se, para todo $1\le n<\mathrm{\infty }$$1 \le n < \infty$, temos

   $$A_n\in {\mathcal{F}}_{n-1}.$$

   Por exemplo, suponha que o preço de uma ação seja modelado por um processo $(S_n{)}_{n\ge 0}$$(S_n)_{n \ge 0}$. O investidor pode escolher, na rodada $n$$n$, uma quantidade $A_n$$A_n$ de ações para comprar ou vender. A condição de não-antecipação significa que o trader escolhe $A_n$$A_n$ apenas com base nas informações anteriores, antes de conhecer o próximo preço $S_n$$S_n$. O lucro incremental na rodada $n$$n$ é

   $$A_n(S_n-S_{n-1}).$$

   O seguinte resultado diz que mesmo escolhendo o tamanho das apostas, o jogo continua justo, desde que a estratégia não use informação futura. Prove: Se $(M_n{)}_{n\ge 0}$$(M_n)_{n\ge0}$ é um martingal com respeito à sequência $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$$\ (\mathcal{F}_n)_{n\ge0}$, e se $(A_n{)}_{n\ge 1}$$(A_n)_{n\ge1}$ é uma sequência de variáveis aleatórias limitadas que são não-antecipantes com respeito a $({\mathcal{F}}_n)$$( \mathcal{F}_n )$, então a sequência de transformações de martingais $({\tilde{M}}_n{)}_n$$(\widetilde{M}_n)_n$ é ela própria uma martingal com respeito a $({\mathcal{F}}_n)$$(\mathcal{F}_n)$, onde ${\tilde{M}}_0=M_0$$\widetilde{M}_0 = M_0$ e, para $n\ge 1$$n \ge 1$, definindo

   $${\tilde{M}}_n=M_0+A_1(M_1-M_0)+A_2(M_2-M_1)+\cdots +A_n(M_n-M_{n-1}).$$

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5. Considere um mercado discreto no tempo $n=0,1,2,\dots$$n = 0,1,2,\ldots$, com uma ação de preço $S_n$$S_n$ e um ativo livre de risco que rende uma taxa constante $r$$r$. Uma carteira autossuficiente (ou auto-financiada, isto é, não recebe nem paga fluxo externo) é descrita por dois processos adaptados (ou seja, um processo estocástico cujo valor no tempo $n$$n$ só depende das informações disponíveis até o tempo $n$$n$):

   • $A_n$$A_n$: quantidade de ações no período $n$$n$,

   • $B_n$$B_n$: quantidade do ativo livre de risco no período $n$$n$,

   satisfazendo a condição de não-antecipação: $A_n,B_n\in {\mathcal{F}}_{n-1}.$$A_n,\, B_n \in \mathcal{F}_{n-1}.$

   O valor da carteira no tempo $n$$n$ é: $V_n=A_n{S}_n+B_n(1+r{)}^n.$$V_n = A_n S_n + B_n (1+r)^n.$

   A carteira é auto-financiada: $V_n-V_{n-1}=A_n(S_n-S_{n-1}).$$V_n - V_{n-1} = A_n (S_n - S_{n-1}).$

   Consideremos uma medida de probabilidade para o preço da ação de modo que o ativos tenha retorno esperado igual ao retorno do ativo livre de risco. Essa é uma medida neutra ao risco, que satisfaz

   $$\mathbb{E}[S_n\mid {\mathcal{F}}_{n-1}]=(1+r)S_{n-1}.$$

   Defina o processo descontado:

   $$M_n:=\frac{S_n}{(1+r{)}^n}.$$

   Mostre que o processo $(M_n{)}_{n\ge 0}$$(M_n)_{n\ge 0}$ é um martingal com respeito à sequência ${\mathcal{F}}_n=\sigma (S_0,S_1,\dots ,S_n).$$\mathcal{F}_n =\sigma(S_0,S_1,\dots,S_n).$

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6. Suponha que $(M_n{)}_{n\ge 0}$$(M_n)_{n\ge0}$ é um martingal quadrado-integrável com respeito a $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$$(\mathcal{F}_n)_{n\ge0}$, isto é,

   $$M_n\in {\mathcal{F}}_n,\mathbb{E}[|M_n{|}^2]<\mathrm{\infty },\mathbb{E}[M_n\mid {\mathcal{F}}_{n-1}]=M_{n-1}.$$

   Considere inteiros $0\le a\le b\le c\le d$$0\le a\le b\le c\le d$. Mostre que os incrementos em intervalos não sobrepostos são ortogonais, isto é

   $$\boxed{{\displaystyle \mathbb{E}[(M_b-M_a)(M_d-M_c)]=0}}$$

   para todo $0\le a\le b\le c\le d$$0\le a\le b\le c\le d$. (Dica: use a propriedade da esperança condicional (fórmula da torre) e o fato de que $M_b-M_a\in {\mathcal{F}}_b\subseteq {\mathcal{F}}_c$$M_b-M_a \in \mathcal{F}_b \subseteq \mathcal{F}_c$, a inclusão vale sempre que $b\le c$$b\le c$.)

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7. Um analista de dados está tentando prever a demanda diária $Y_n$$Y_n$ de um produto. Ele utiliza apenas as informações disponíveis até o dia $n-1$$n-1$ para gerar uma previsão

   $${\hat{Y}}_n=\mathbb{E}[Y_n\mid {\mathcal{F}}_{n-1}]$$

   onde ${\mathcal{F}}_n=\sigma (Y_1,\dots ,Y_n)$$\mathcal{F}_n = \sigma(Y_1,\dots,Y_n)$ representa toda a informação observada até o dia $n$$n$. Chamaremos de erro de previsão no dia $n$$n$

   $$M_n=Y_n-{\hat{Y}}_n.$$

   O modelo é bem especificado, no sentido de que o analista não tem viés, ele sempre usa o valor condicional correto ${\hat{Y}}_n$$\hat{Y}_n$. Além disso, a demanda futura $Y_{n+1}$$Y_{n+1}$ nunca é antecipável com mais precisão do que aquela fornecida pela esperança condicional.

   (a) Mostre que $\mathbb{E}[M_n\mid {\mathcal{F}}_{n-1}]=0.$$\mathbb{E}[\,M_n \mid \mathcal{F}_{\,n-1}\,] = 0.$

   (b) Se $M_n$$M_n$ tem esperança finita, está em ${\mathcal{F}}_n$$\mathcal F_n$ e vale (a), para todo $n$$n$, então dizemos que $(M_n{)}_{n\ge 1}$$(M_n)_{n\ge1}$ como dado acima é uma sequência de diferenças de martingal (martingale-difference sequence) com respeito a $({\mathcal{F}}_n{)}_n$$(\mathcal{F}_n)_n$. Mostre que, nesse caso, as somas parciais $S_n=\sum _{k=1}^n{M}_k$$S_n = \sum_{k=1}^n M_k$ forma um martingal. (c) O que significa, do ponto de vista do analista de dados, os resultados acima?

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