O problema está no passo da segunda igualdade, onde fazemos \((-1)^1 = (-1)^{\frac{2}{2}}\). Sim, é verdade que \(1 = \frac{2}{2}\), mas precisamos tomar um cuidado extra quando estamos lidando com números racionais (frações) no expoente. Para que todas as leis de potenciação funcionem para expoentes racionais, a definição de \(a^{\frac{b}{c}}\) exige que \(a\) seja um número não negativo sempre que \(c\) for um número par. Então o valor de \((-1)^{\frac{2}{2}}\) não está definido!

Espero que você tenha percebido que há alguma coisa de estranho na demonstração acima, pois \(\frac{n^3}{n^3} = 1\) e \(\lim_{n \to \infty} 1 = 1\).

Vamos lembrar do que sabemos de cálculo. Sabemos que \(\lim_{n \to \infty} [f(n) + g(n)] = \lim_{n \to \infty} f(n) + \lim_{n \to \infty} g(n)\), mas que essa propriedade só pode ser usada se os limites de \(f(n)\) e \(g(n)\) existem. Bom… \(\lim_{n \to \infty} n^2/n^3 = 0\), então o limite existe e, usando o teorema múltiplas vezes, temos que a segunda igualdade é verdade, certo? Errado.

O problema surge aqui porque a quantidade de termos na sequência

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} + \cdots + \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} \]

também está crescendo conforme \(n \to \infty\). Como a quantidade de termos da soma também está crescendo, não podemos usar que o limite da soma é a soma dos limites. Podemos aplicar essa propriedade apenas quando temos a soma de um número finito de elementos.