\( \newcommand{\Pr}[1]{{\rm Pr}\left[#1\right]} \newcommand{\Ex}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} \newcommand{\ex}{{\rm ex}} \)


Bad Math

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Esta é uma página dedicada à má matemática: porque às vezes ela pode ser mais instrutiva que a boa.

No restante dessa página você encontrará algumas "demonstrações" de alguns fatos absurdos, como, por exemplo, que \(1 = -1\). Na sequência de cada "demonstração", discutirei qual foi o argumento falho nela. Antes de ler minha análise, veja se você consegue descobrir sozinho!

1 = -1

Teorema \(-1 = 1\).
Demonstração. Note que \[-1 = (-1)^1 = (-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1.\]

Canelada

O problema está no passo da segunda igualdade, onde fazemos \((-1)^1 = (-1)^{\frac{2}{2}}\). Sim, é verdade que \(1 = \frac{2}{2}\), mas precisamos tomar um cuidado extra quando estamos lidando com números racionais (frações) no expoente. Para que todas as leis de potenciação funcionem para expoentes racionais, a definição de \(a^{\frac{b}{c}}\) exige que \(a\) seja um número não negativo sempre que \(c\) for um número par. Então o valor de \((-1)^{\frac{2}{2}}\) não está definido!

\(\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3} = 0\)

Teorema \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3} = 0\]
Demonstração. Note que

\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\overbrace{n^2 + n^2 + \cdots + n^2}^{n \text{vezes}}}{n^3}\\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} + \cdots + \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} \\ &= 0 + 0 + \cdots + 0 \end{align*}

Canelada

Espero que você tenha percebido que há alguma coisa de estranho na demonstração acima, pois \(\frac{n^3}{n^3} = 1\) e \(\lim_{n \to \infty} 1 = 1\).

Vamos lembrar do que sabemos de cálculo. Sabemos que \(\lim_{n \to \infty} [f(n) + g(n)] = \lim_{n \to \infty} f(n) + \lim_{n \to \infty} g(n)\), mas que essa propriedade só pode ser usada se os limites de \(f(n)\) e \(g(n)\) existem. Bom… \(\lim_{n \to \infty} n^2/n^3 = 0\), então o limite existe e, usando o teorema múltiplas vezes, temos que a segunda igualdade é verdade, certo? Errado.

O problema surge aqui porque a quantidade de termos na sequência

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} + \cdots + \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} \]

também está crescendo conforme \(n \to \infty\). Como a quantidade de termos da soma também está crescendo, não podemos usar que o limite da soma é a soma dos limites. Podemos aplicar essa propriedade apenas quando temos a soma de um número finito de elementos.

Todos os cavalos são brancos

Teorema Todos os cavalos são brancos. Demonstração. TODO

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Last Updated: 2023-07-16 dom 22:06