MC1306 (1q’15)

Este é o plano de ensino da disciplina MC1306 – Análise no \mathbb{R}^n I, ministrada no primeiro quadrimestre de 2015 para as turmas A – Diurno e A – Noturno (Bacharelado em Matemática – campus Santo André). Aqui encontram-se informações gerais sobre o curso.

(Nota: Todas as datas indicadas abaixo se aplicam a ambas as turmas!)

Novidades:

Notícias recentes sobre o funcionamento do curso serão disponibilizadas aqui.

  • (8.5.15) Os conceitos finais estão disponíveis (diurno, noturno).
  • (8.5.15) As notas da Rec e as médias das listas estão disponíveis (diurno).
  • (5.5.15) Haverá vista de provas hoje (5.5) à tarde, a partir das 14h45, na minha sala.
  • (5.5.15) As notas da P2 e a versão preliminar dos conceitos finais (sem as notas da Rec e as médias das listas) estão disponíveis (diurno, noturno).
  • (29.4.15) Os exercícios 17 e 20 a 22 da Lista 2 e o exercício 9 da Lista 3 foram revisados.
  • (28.4.15) O local da P2 será a sala S501.
  • (28.4.15) O exercício 24 da Lista 2 sofreu acréscimo de 1 item.
  • (28.4.15) A Lista 3 foi corrigida e expandida.
  • (23.4.15) A data da Rec foi marcada para 8.5 (sexta-feira), às 10h00, para ambas as turmas (diurno e noturno), na sala S501.
  • (23.4.15) A data da P2 foi adiada para 4.5 (segunda-feira), às 10h00, para ambas as turmas (diurno e noturno). O local da prova será divulgado em breve.
  • (17.4.15) A Lista 3 está disponível.
  • (17.4.15) O exercício 7 da Lista 2 foi revisado e ampliado.
  • (16.4.15) Os exercícios 23 e 24 da Lista 2 foram revisados.
  • (13.4.15) A Lista 2 está disponível.
  • (7.4.15) As notas da P1 estão disponíveis (diurno, noturno).
  • (16.3.15) O exercício 22 da Lista 1 foi revisado.
  • (14.3.15) Os exercícios 15 e 16 da Lista 1 foram revisados, e o exercício 17 foi incorporado ao 16.
  • (14.3.15) O exercício 23 da Lista 1 foi revisado. Agora ele é estrelado e passou a ser o item (b) do exercício 34. Acrescentado o exercício 28.
  • (14.3.15) Os exercícios 6 a 8 da Lista 1 foram revisado.
  • (12.3.15) A matéria da P1 compreende a Lista 1 inteira.
  • (12.3.15) A Lista 1 foi corrigida e expandida. Os exercícios sobre conexidade (36 a 40) foram ampliados e contam agora com uma introdução autocontida.
  • (13.2.15) A Lista 1 foi atualizada.
  • (6.2.15) A Lista 1 está disponível.
  • (6.2.15) O roteiro foi ligeiramente rearranjado e atualizado com referências ao livro principal do Elon.

Bibliografia:

A lista abaixo indica os textos que seguiremos mais de perto.

  • Johannes J. Duistermaat, Johan A.C. Kolk, Multidimensional Real Analysis I – Differentiation. Cambridge University Press, 2004;
  • Elon L. Lima, Curso de Análise – Volume 2 (décima primeira edição). Projeto Euclides, IMPA, 2009;
  • Walter Rudin, The Principles of Mathematical Analysis (terceira edição). McGraw-Hill, 1976.

Textos suplementares:

  • Tom M. Apostol, Cálculo, Volume 2 (segunda edição). Editorial Reverté, 1996 (original em inglês: Calculus, Volume II – Second Edition. Wiley, 1969);
  • Robert G. Bartle, The Elements of Real Analysis (segunda edição). Wiley, 1976;
  • Elon L. Lima, Análise no Espaço

        \[\mathbb{R}^n\]

    (segunda edição). Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010;
  • Charles C. Pugh, Real Mathematical Analysis. Springer-Verlag, 2002;
  • Robert S. Strichartz, The Way of Analysis. Jones and Bartlett, 2000;
  • Terence Tao, Analysis II. Hindustan Book Agency, 2006.

Recomendações:

É recomendado que o aluno tenha cursado anteriormente as disciplinas apontadas abaixo, pois será feito uso tácito de vários tópicos apresentados nelas. Indicamos material encontrado em algumas das referências acima para o aluno que sentir necessidade de revisar conceitos vistos nesses cursos.

Avaliação:

  • Média final Mf = no mínimo 90% da média simples Mp de duas provas + no máximo 10% da média Ml das listas de exercícios (ver abaixo).
  • Critério de conceito final em função da média final Mf : F (Mf < 4,0), D (Mf = 4,0-5,4), C (Mf = 5,5-6,9), B (Mf = 7,0-8,4), A (Mf = 8,5-10,0).
  • Haverá uma prova substitutiva e uma prova de recuperação no final do curso. O conteúdo de ambas as provas compreenderá toda a matéria.
  • A prova substitutiva só poderá ser feita por alunos que não puderem comparecer a uma das provas, com justificativa formal por escrito da ausência entregue ao docente no máximo até o horário de início da prova substitutiva.
  • A nota da prova substitutiva necessariamente substituirá a menor das notas das duas provas regulares, mesmo que isso resulte na redução da média das provas.
  • A prova de recuperação deverá ser aplicada pelo menos 72 horas após a divulgação dos conceitos finais, calculados após a aplicação da prova substitutiva (se houver necessidade de aplicar a última). Apenas alunos que ficaram com conceitos finais D e F (ver critério acima) após a aplicação da prova substitutiva poderão fazer essa prova.
  • A nota da prova de recuperação necessariamente substituirá a menor das notas das duas provas válidas para o cálculo da média das provas após a aplicação da prova substitutiva, mesmo que isso resulte na redução da média das provas.
  • As listas de exercícios referentes ao conteúdo de cada prova serão recolhidas nas aulas que se seguem às respectivas provas, e serão avaliadas segundo o critério acima somente em casos limítrofes de conceito para aprovação. Orientações adicionais sobre a entrega das listas podem ser encontradas no cabeçalho das últimas;
  • Datas das provas: 17.3 (P1), 4.5 (P2), 8.5 (Rec).

Listas de exercícios:

As listas de exercícios serão disponibilizadas gradativamente.

Roteiro:

Abaixo indicamos brevemente a ordem de tópicos a ser seguida, com indicações das seções correspondentes nos três livros-texto principais listados acima. Esse roteiro poderá sofrer ligeiras modificações e/ou omissões ao longo do curso, na medida do necessário.

Notar que essas seções podem ocasionalmente conter mais material do que será visto em aula – um guia mais preciso do conteúdo será dado pelos exercícios das listas (e, é claro, pelo material apresentado em aula 😉 ).

  •  \mathbb{R}^n como espaço vetorial e como espaço métrico: produto escalar, projeções ortogonais, norma Euclideana e distância Euclideana (Duistermaat-Kolk – seção 1.1; Elon – seções I.1 e I.2; Rudin – seções 1.36 a 1.38);
  • Topologia de \mathbb{R}^n: pontos de aderência e pontos interiores, abertos e fechados, fecho, interior e fronteira, subconjuntos limitados, pontos de acumulação e pontos isolados, subconjuntos conexos, subconjuntos perfeitos e discretos (Duistermaat-Kolk – seções 1.2, 1.6, 1.8 e 1.9; Elon – seções I.4, I.6, I.10, I.11 e I.14; Rudin – seções 2.15 a 2.30 e 2.43 a 2.47);
  • Sequências em \mathbb{R}^n: limites e subsequências, sequências limitadas e de Cauchy, completeza de \mathbb{R}^n (Duistermaat-Kolk – seções 1.1 e 1.6; Elon – seção 1.5; Rudin – seções 3.1 a 3.12);
  • Recobrimentos e compacidade: subconjuntos compactos, o teorema de Heine-Borel-Lebesgue em \mathbb{R}^n (Duistermaat-Kolk – seção 1.8; Elon – seção I.12; Rudin – seções 2.31 a 2.42);
  • Funções e aplicações em abertos de \mathbb{R}^n e seus limites (Duistermaat-Kolk – seção 1.3; Elon – seção I.9; Rudin – seções 2.1, 2.2 e 4.1 a 4.4);
  • Aplicações contínuas: formulação local e global, preservação de operações algébricas e de composição, continuidade da inversa e homeomorfismos, aplicações Lipschitzianas, contrações e o teorema de ponto fixo de Banach, preservação de conexidade e compacidade por aplicações contínuas (Duistermaat-Kolk – seções 1.3 a 1.5, e 1.7 a 1.9; Elon – seções I.7, I.8 a I.12, e I.14; Rudin – seção 4.5 a 4.23, 9.22 e 9.23);
  • Aplicações diferenciáveis: derivada direcional e diferencial de uma aplicação,  derivadas parciais, aplicações diferenciáveis e continuamente diferenciáveis, a matriz Jacobiana, linearidade da diferenciação, regra da cadeia (Duistermaat-Kolk – seções 2.1 a 2.6; Elon – seções III.1 a III.6, e V.1 a V.3; Rudin – seções 9.10 a 9.21);
  • Diferenciação de funções de várias variáveis em ordem superior: a matriz Hessiana, critério de comutatividade de derivadas parciais (teorema de Schwarz), fórmula de Faà di Bruno, fórmula de Taylor para funções de várias variáveis (Duistermaat-Kolk – seções 2.7 e 2.8; Elon – seções III.7, III.8 e V.4; Rudin – seções 9.39 a 9.41);
  • Máximos e mínimos de funções diferenciáveis, funções convexas (Duistermaat-Kolk – seção 2.9);
  • Difeomorfismos e o Teorema da Aplicação Inversa (Duistermaat-Kolk – seções 3.1 a 3.3; Elon – seção V.8; Rudin – seção 9.24 e 9.25);
  • Aplicações implícitas e o Teorema da Aplicação Implícita (Duistermaat-Kolk – seções 3.4 a 3.6; Elon – seções III.9 e V.8; Rudin – seções 9.26 e 9.29);
  • Hipersuperfícies: formulação paramétrica, gráfica e implícita, multiplicadores de Lagrange, subvariedades de \mathbb{R}^n (Duistermaat-Kolk – seções 4.1, 4.2, 5.4 e 5.5; Elon – seções III.10, e V.10 a V.15; Rudin – seções 9.30 a 9.32).