Projetos de pesquisa para orientação

Graduação:

• O Teorema de Lax-Milgram e problemas de valor de fronteira

  Objetivo científico: Aplicar o Teorema de Lax-Milgram na obtenção de existência e unicidade de soluções do problema de valor de fronteira para a equação de Poisson.
  Objetivo de formação: Fornecer uma base sólida e introdutória ao estudo de equações diferenciais parciais.
  Disciplinas essenciais: Análise Real I, Álgebra Linear.
  Disciplinas recomendadas: Álgebra Linear Avançada I.
  
  Um dos problemas centrais na análise é a obtenção de existência e unicidade de solucões de equações diferenciais. Em termos práticos, tal tarefa é de suma importância uma vez que fenômenos da natureza não raramente são modelados por equações diferenciais parciais e, desta forma, estabelecer a existência e unicidade de suas soluções fornece comportamentos únicos esperados de soluções de tal modelo. Neste projeto, busca-se estudar o Teorema de Lax-Milgram, um resultado em Análise Funcional que caracteriza funcionais lineares definidos em espaços de Hilbert em termos de formas sesquilineares e coercivas, para utilização na determinação de existência e unicidade de soluções da equação de Poisson sujeita a valores de fronteira.
  
  



• A equação de Camassa-Holm e soluções do tipo peakon

  Objetivo científico: Deduzir soluções não-classicas para equações diferenciais parciais com aplicações no estudo de águas em regime raso.
  Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de soluções não-clássicas de equações diferenciais parciais.
  Disciplinas essenciais: Funções de Uma Variável, Funções de Várias Variáveis, Álgebra Linear, Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias.
  Disciplinas recomendadas: Análise Real I, Álgebra Linear Avançada I, Topologia, Equações Diferenciais Ordinárias.
  
  A chamada equação de Camassa-Holm se tornou famosa em 1993 ao se descobrir, dentre outras coisas, soluções com uma propriedade curiosa: apenas continuidade global, com perda de diferenciabilidade em um ponto cujo gráfico representa um pico. Essa solução não representa uma solução clássica e sim uma solução fraca por não apresentar grau de diferenciabilidade compatível com a ordem da equação de Camassa-Holm. Necessita-se então definir o conceito de solução fraca e, mais ainda, derivadas fracas a fim de entender em que sentido essas funções são, de fato, soluções da equação de Camassa-Holm.



• Simetrias de Lie e auto-adjunticidade não-linear da equação de Korteweg-de Vries-Zakharov-Kuznetsov

  Objetivo científico: Obter simetrias de Lie e leis de conservação para uma equação com aplicação na Física de plasmas.
  Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de simetrias de Lie e cálculo simbólico via Mathematica.
  Disciplinas essenciais: Funções de Uma Variável, Funções de Várias Variáveis, Álgebra Linear, Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias.
  Disciplinas recomendadas: Análise Real I, Álgebra Linear Avançada I.
  
  A equação de KdV-ZK é uma importante e interessante equação diferencial parcial usada para descrever o efeito de campos magnéticos em ondas íon-acústicas fracas não-lineares. Como toda equação diferencial não linear, a obtenção de propriedades quantitativas é de difícil realização, de forma que o propósito deste projeto é investigar simetrias de Lie, leis de conservação e soluções especiais da equação.

Mestrado

• A equação de Camassa-Holm e soluções do tipo peakon

  Objetivo científico: Estudar quantitativa e qualitativamente soluções não-clássicas de equações com aplicações no estudo de águas em regime raso.
  Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de propriedades qualitativas de equações diferenciais não-localmente evolutivas.
  Disciplinas essenciais: Análise no Rn, Topologia, Álgebra Linear.
  Disciplinas recomendadas: Análise Funcional, Equações Diferenciais Ordinárias.
  
  A chamada equação de Camassa-Holm se tornou famosa em 1993 ao se descobrir, dentre outras coisas, soluções com duas propriedades curiosas: 1) apenas continuidade, com perda de diferenciabilidade em um ponto cujo gráfico representa um pico; 2) comportamento de colisão inelástica, na qual se conserva energia. Essa solução, chamada de peakon por Camassa e Holm, se tornou um dos principais objetos de estudo nas duas décadas que seguiram e suas propriedades são bem estudadas, porém não tão bem compreendidas. Neste aspecto, o estudo aqui apresenta uma grande gama de possibilidades que envolvem a dedução da solução peakon para a equação de Camassa-Holm, propriedades de estabilidade orbital dessa solução e má colocação em espaços de Sobolev.
  
  



• Soluções pseudo-peakon para equações do tipo Camassa-Holm

  Objetivo científico: Estudar quantitativa e qualitativamente soluções do tipo pseudo-peakon.
  Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de soluções não-clássicas de equações do tipo Camassa-Holm.
  Disciplinas essenciais: Análise no Rn, Topologia, Álgebra Linear.
  Disciplinas recomendadas: Análise Funcional, Equações Diferenciais Parciais.
  
  Em linha com o tópico anterior, soluções pseudo-peakon surgiram uma década depoios do trabalho de Camassa e Holm e são soluções que se assemelham a soluções peakon, mas que possuem um grau de diferenciabilidade a mais. Essas soluções ainda se caracterizam como soluções fracas. Baseados em trabalhos recentes da orientadora, neste projeto busca-se investigar propriedades qualitativas de tais soluções, tais quais colisões, estabilidade e má colocação, bem como a dedução de novas soluções do tipo pseudo-peakon inexistentes na literatura.
• Aplicações da Análise-Funcional:
  O estudo de equações diferenciais parciais é altamente influenciado pela Análise Funcional: ela fornece ferramentas teóricas como estrutura de espaços de funções para investigação de soluções, teoremas cujas aplicações forneçam informações importantes sobre soluções e até mesmo estrutura de operadores que ajudem a determinar, por exemplo, a estabilidade de soluções. Meu principal interesse na Análise Funcional é o estudo de espaços de funções e os Teoremas de Lax-Milgram e Bishop-Phelps.

Física-Matemática:

Meu interesse em Física-Matemática se concentra no estudo das chamadas equações integráveis, equações diferenciais parciais não-lineares que podem ser interpretadas como o mais linear que uma equação não-linear pode ser. Isso se deve por essas equações serem obtidas via condição de compatibilidade de um sistema linear e certas soluções de tais equações possuem colisão inelástica. Meus principais focos de estudo para equações integráveis são na obtenção de soluções fracas (soluções que não possuem grau de diferenciabilidade suficiente) e na dedução de outras equações integráveis que generalizem equações integráveis conhecidas.