Projetos de pesquisa para orientação
Os principais tópicos para projetos de pesquisa se alinham com minha área de atuação, ou seja, em equações diferenciais parciais. Porém, estou aberta a conversar sobre outros tópicos e temas para desenvolvimento de Iniciação Científica, TCC, Mestrado e Doutorado.
Abaixo apresento projetos de pesquisa para realização a nível de Graduação, Mestrado e Doutorado:
Graduação:
O Teorema de Lax-Milgram e problemas de valor de fronteira
Objetivo científico: Aplicar o Teorema de Lax-Milgram na obtenção de existência e unicidade de soluções do problema de valor de fronteira para a equação de Poisson.
Objetivo de formação: Fornecer uma base sólida e introdutória ao estudo de equações diferenciais parciais.
Disciplinas essenciais: Análise Real I, Álgebra Linear.
Disciplinas recomendadas: Álgebra Linear Avançada I.
Um dos problemas centrais na análise é a obtenção de existência e unicidade de solucões de equações diferenciais. Em termos práticos, tal tarefa é de suma importância uma vez que fenômenos da natureza não raramente são modelados por equações diferenciais parciais e, desta forma, estabelecer a existência e unicidade de suas soluções fornece comportamentos únicos esperados de soluções de tal modelo. Neste projeto, busca-se estudar o Teorema de Lax-Milgram, um resultado em Análise Funcional que caracteriza funcionais lineares definidos em espaços de Hilbert em termos de formas sesquilineares e coercivas, para utilização na determinação de existência e unicidade de soluções da equação de Poisson sujeita a valores de fronteira.
A equação de Camassa-Holm e soluções do tipo peakon
Objetivo científico: Deduzir soluções não-classicas para equações diferenciais parciais com aplicações no estudo de águas em regime raso.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de soluções não-clássicas de equações diferenciais parciais.
Disciplinas essenciais: Funções de Uma Variável, Funções de Várias Variáveis, Álgebra Linear, Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias.
Disciplinas recomendadas: Análise Real I, Álgebra Linear Avançada I, Topologia, Equações Diferenciais Ordinárias.
A chamada equação de Camassa-Holm se tornou famosa em 1993 ao se descobrir, dentre outras coisas, soluções com uma propriedade curiosa: apenas continuidade global, com perda de diferenciabilidade em um ponto cujo gráfico representa um pico. Essa solução não representa uma solução clássica e sim uma solução fraca por não apresentar grau de diferenciabilidade compatível com a ordem da equação de Camassa-Holm. Necessita-se então definir o conceito de solução fraca e, mais ainda, derivadas fracas a fim de entender em que sentido essas funções são, de fato, soluções da equação de Camassa-Holm.Simetrias de Lie e auto-adjunticidade não-linear da equação de Korteweg-de Vries-Zakharov-Kuznetsov
Objetivo científico: Obter simetrias de Lie e leis de conservação para uma equação com aplicação na Física de plasmas.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de simetrias de Lie e cálculo simbólico via Mathematica.
Disciplinas essenciais: Funções de Uma Variável, Funções de Várias Variáveis, Álgebra Linear, Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias.
Disciplinas recomendadas: Análise Real I, Álgebra Linear Avançada I.
A equação de KdV-ZK é uma importante e interessante equação diferencial parcial usada para descrever o efeito de campos magnéticos em ondas íon-acústicas fracas não-lineares. Como toda equação diferencial não linear, a obtenção de propriedades quantitativas é de difícil realização, de forma que o propósito deste projeto é investigar simetrias de Lie, leis de conservação e soluções especiais da equação.
Mestrado
A equação de Camassa-Holm e soluções do tipo peakon
Objetivo científico: Estudar quantitativa e qualitativamente soluções não-clássicas de equações com aplicações no estudo de águas em regime raso.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de propriedades qualitativas de equações diferenciais não-localmente evolutivas.
Disciplinas essenciais: Análise no Rn, Topologia, Álgebra Linear.
Disciplinas recomendadas: Análise Funcional, Equações Diferenciais Ordinárias.
A chamada equação de Camassa-Holm se tornou famosa em 1993 ao se descobrir, dentre outras coisas, soluções com duas propriedades curiosas: 1) apenas continuidade, com perda de diferenciabilidade em um ponto cujo gráfico representa um pico; 2) comportamento de colisão inelástica, na qual se conserva energia. Essa solução, chamada de peakon por Camassa e Holm, se tornou um dos principais objetos de estudo nas duas décadas que seguiram e suas propriedades são bem estudadas, porém não tão bem compreendidas. Neste aspecto, o estudo aqui apresenta uma grande gama de possibilidades que envolvem a dedução da solução peakon para a equação de Camassa-Holm, propriedades de estabilidade orbital dessa solução e má colocação em espaços de Sobolev.
Soluções pseudo-peakon para equações do tipo Camassa-Holm
Objetivo científico: Estudar quantitativa e qualitativamente soluções do tipo pseudo-peakon.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de soluções não-clássicas de equações do tipo Camassa-Holm.
Disciplinas essenciais: Análise no Rn, Topologia, Álgebra Linear.
Disciplinas recomendadas: Análise Funcional, Equações Diferenciais Parciais.
Em linha com o tópico anterior, soluções pseudo-peakon surgiram uma década depoios do trabalho de Camassa e Holm e são soluções que se assemelham a soluções peakon, mas que possuem um grau de diferenciabilidade a mais. Essas soluções ainda se caracterizam como soluções fracas. Baseados em trabalhos recentes da orientadora, neste projeto busca-se investigar propriedades qualitativas de tais soluções, tais quais colisões, estabilidade e má colocação, bem como a dedução de novas soluções do tipo pseudo-peakon inexistentes na literatura.A equao de Korteweg-de Vries: integrabilidade e solues solitnicas
Objetivo científico: Estudar estruturas de integrabilidade da equao de Korteweg-de Vries.
Objetivo de formação: Introduzir o discente a uma linha de pesquisa recente e com aplicaes em problemas do mundo real.
Disciplinas essenciais: lgebra Linear, Anlise no Rn, Equaes Diferenciais Ordinrias.
Disciplinas recomendadas: Análise Funcional, Equações Diferenciais Parciais.
A equao de Korteweg-de Vries (KdV) um marco no estudo de equaes diferenciais parciais uma vez que ela serviu de prottipo para as chamadas equaes integrveis, que nada mais so do que equaes que possuem uma infinidade de quantidades conservadas no tempo que, por fim, podem ser utilizadas para demonstrar que colises de certas solues (slitons) so inelsticas e preservam energia. O propsito deste projeto a investigao das propriedades de integrabilidade da equao de KdV, juntamente com a investigao de suas solues solitnicas. Direes de pesquisa possveis incluem anlise (computacional) de coliso, estabilidade de solues e deduo das estruturas de integrabilidade da KdV.