Linhas de atuação

Álgebra:

Meu interesse em Álgebra se materializa no estudo de simetrias de Lie de equações diferenciais e no estudo das correspondentes álgebras de Lie. Uma simetria de Lie é uma transformação que deixa soluções invariantes, ou seja, transforma soluções de uma equação em soluções da mesma equação. Visto que os métodos para resolução de equações diferenciais possuem aplicações restritas apenas a certos tipos de equações, o estudo de simetrias de Lie permite que, por meio algébrico, busque-se deduzir soluções explícitas para equações.

O estudo de simetrias leva naturalmente ao estudo de leis de conservação, que nada mais são do que quantidades que são conservadas ao longo do tempo (vide energia conservada nas leis de Newton). Leis de conservação podem ser estudadas do ponto de vista algébrico, mas suas principais propriedades estão associadas com aplicações na Física-Matemática.

Análise

Como analista, este é minha principal área de atuação e meu foco não se concentra apenas em um tópico.

• Boa postura:
  Uma das principais linhas de pesquisa se relaciona com existência e unicidade de soluções de equações evolutivas. Apesar de boa parte de tais equações serem modelos para fenômenos da natureza, a investigação aqui não envolve aplicações e pode ser considerada de natureza pura, sendo um tópico essencial para seu melhor entendimento matemático, uma vez que garantir a existência e a unicidade de soluções garante que o comportamento do objeto é determinado de maneira única.
• Estabilidade:
  O próximo tópico, relacionado com o anterior, é o estudo de estabilidade de soluções. Uma vez que conseguimos garantir a existência e unicidade de soluções, pode-se questionar sobre como perturbações na solução afetam o comportamento da mesma, ou dito de outra forma, se a solução é estável. Para capturar de forma mais concreta o conceito de estabilidade, pensemos de forma mais real: duas placas tectônicas no oceano colidem, gerando uma perturbação no oceano. No caso em que a perturbação é forte o suficiente, ela torna o oceano instável e desastres como tsunamis podem acontecer. Caso a perturbação não apresente mudanças significativas, o efeito é de estabilidade. Naturalmente, conceitos de estabilidade, "mudanças significativas" e "perturbação ser forte" precisam ser matematicamente definidos, porém essa é a ideia por trás do conceito.
• Aplicações da Análise-Funcional:
  O estudo de equações diferenciais parciais é altamente influenciado pela Análise Funcional: ela fornece ferramentas teóricas como estrutura de espaços de funções para investigação de soluções, teoremas cujas aplicações forneçam informações importantes sobre soluções e até mesmo estrutura de operadores que ajudem a determinar, por exemplo, a estabilidade de soluções. Meu principal interesse na Análise Funcional é o estudo de espaços de funções e os Teoremas de Lax-Milgram e Bishop-Phelps.

Física-Matemática:

Meu interesse em Física-Matemática se concentra no estudo das chamadas equações integráveis, equações diferenciais parciais não-lineares que podem ser interpretadas como o mais linear que uma equação não-linear pode ser. Isso se deve por essas equações serem obtidas via condição de compatibilidade de um sistema linear e certas soluções de tais equações possuem colisão inelástica. Meus principais focos de estudo para equações integráveis são na obtenção de soluções fracas (soluções que não possuem grau de diferenciabilidade suficiente) e na dedução de outras equações integráveis que generalizem equações integráveis conhecidas.